神一般的問題 [高中數學](已解決)

mn595959

直線 L 過ΔABC 重心的 G ，與邊 AB,AC 分別教於 B' 和 C' ,AB'/AB = λ 、AC'/AC = μ.求證 1/λ +1/μ = 3

請各位幫幫忙，我要GG啦~

ananan1414

假設一條直線過A 和 G點 與 邊BC交於 D
AG:AD=2:3  (三角形重心定理)
其實照你文字的敘述 直線L理論上要與BC平行但你沒有打出來
假設Ｌ與ＢＣ平行
所以AG :AD=AB':AB=AC':AC=2:3 (因為有兩平行直線所以同位角相等為相似三角形所以邊等比)
=>AB':AB=λ=2/3, AC':AC=μ=2/3
得證1/λ +1/μ = 3...

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令AB'=m B'B=n AC'=o C'C=p
因向量AG=1/3AB+1/3AC
所以向量AG=(m+n)/3mAB'+(o+p)/3oAC'
又因點B'GC'共線所以得
(m+n)/3m+(o+p)/3o=1
上式等號兩邊同乘3得證
手機打的有點醜請見諒

利用向量的共線性質（秒解）
重心Ｇ：向量AG=1/3向量AB+1/3向量AC
向量AB=1/ λ AB'　；　向量AC=1/ μ AC'　　代入
得向量AG=1/3λ向量AB'+1/3μ向量AC'
利用向量的共線性質：1/3λ+1/3=1
同乘3即可得 1/λ +1/μ = 3